牛顿对数学有什么贡献？

发现二项式定理

1665年，年仅22岁的牛顿发现了二项式定理，这是微积分全面发展必不可少的一步。二项式定理认为能量是通过直接计算发现的。

简单的结果被推广到下面的形式。

二项式级数展开是研究级数理论、函数理论、数学分析和方程理论的有力工具。今天我们会发现这种方法只适用于n为正整数的情况，当n为1，2，3的正整数时，.....，该系列正好在n+1处结束。如果n不是正整数，数列不会结束，此方法不适用。但我们要知道，莱布尼茨是在1694年引入函数这个词的。在微积分的早期阶段，按层次处理超越函数是最有效的方法。

创建微积分

牛顿在数学方面最杰出的成就是创立了微积分。他的突出成就是把古希腊以来各种解决无穷小问题的特殊技巧统一为两种通用算法——微分和积分，并建立了这两种运算之间的互逆关系。比如面积计算，可以看作是求切线的逆过程。

当时莱布尼茨刚刚提出微积分的研究报告，就引发了微积分发明专利权的争论，直到莱布尼茨去世也没有停止。而后世已经认定，差积是他们同时发明的。

在微积分的方法上，牛顿极其重要的贡献在于，他不仅清楚地看到了，而且极大地利用了代数所提供的方法论，这比几何优越得多。他用代数方法代替了卡瓦列里、格雷戈里、惠更斯和巴罗的几何方法，完成了积分的代数化。此后，数学逐渐从感觉的学科转向思维的学科。

在微产品产生的早期，由于没有建立坚实的理论基础，被别有用心的人利用。这导致了著名的第二次数学危机。这个问题直到19世纪极限理论建立才得以解决。

引入极坐标发展三次曲线理论

牛顿对解析几何做出了深远的贡献。他是极坐标的创始人。第一个广泛地研究了高次平面曲线。牛顿证明了如何把一般的三次方程

通过标度轴的变换，所表示的所有曲线被变换成以下四种形式之一:

在《三次曲线》一书中，牛顿列出了三次曲线78种可能形式中的72种。这些是最吸引人的；最难的是:正如所有的曲线都可以作为圆的中心投影得到；所有三次曲线都可以用作曲线。

投影的中心。这个定理在1973被证明之前一直是个谜。

牛顿的三次曲线为研究更高的平面直线奠定了基础，阐述了渐近线、节点和点的重要性。牛顿在三次曲线上的工作启发了许多其他关于更高平面曲线的研究工作。

高级方程理论，开放变分法

牛顿还对代数做出了经典贡献，他的广义算术极大地促进了方程理论。他发现实多项式的虚根必须成对出现，并发现了多项式根的上界规律。他用多项式的系数表示了多项式的根的和公式，并给出了限制实多项式虚根个数的笛卡儿符号法则的推广。