椭圆曲线加密算法

椭圆曲线加密算法，即：Elliptic Curve Cryptography，简称ECC，是基于椭圆曲线数学理论实现的一种非对称加密算法。相比RSA，ECC优势是可以使用更短的密钥，来实现与RSA相当或更高的安全。据研究，160位ECC加密安全性相当于1024位RSA加密，210位ECC加密安全性相当于2048位RSA加密。

椭圆曲线在密码学中的使用，是1985年由Neal Koblitz和Victor Miller分别独立提出的。

一般情况下，椭圆曲线可用下列方程式来表示，其中a,b,c,d为系数。

例如，当a=1,b=0,c=-2,d=4时，所得到的椭圆曲线为:

该椭圆曲线E的图像如图X-1所示，可以看出根本就不是椭圆形。

过曲线上的两点A、B画一条直线，找到直线与椭圆曲线的交点，交点关于x轴对称位置的点，定义为A+B，即为加法。如下图所示：A + B = C

上述方法无法解释A + A，即两点重合的情况。因此在这种情况下，将椭圆曲线在A点的切线，与椭圆曲线的交点，交点关于x轴对称位置的点，定义为A + A，即2A，即为二倍运算。

将A关于x轴对称位置的点定义为-A，即椭圆曲线的正负取反运算。如下图所示：

如果将A与-A相加，过A与-A的直线平行于y轴，可以认为直线与椭圆曲线相交于无穷远点。

综上，定义了A+B、2A运算，因此给定椭圆曲线的某一点G，可以求出2G、3G（即G + 2G）、4G......。即：当给定G点时，已知x，求xG点并不困难。反之，已知xG点，求x则非常困难。此即为椭圆曲线加密算法背后的数学原理。

椭圆曲线要形成一条光滑的曲线，要求x,y取值均为实数，即实数域上的椭圆曲线。但椭圆曲线加密算法，并非使用实数域，而是使用有限域。按数论定义，有限域GF(p)指给定某个质数p，由0、1、2......p-1***p个元素组成的整数集合中定义的加减乘除运算。

假设椭圆曲线为y? = x? + x + 1，其在有限域GF(23)上时，写作：　　y? ≡ x? + x + 1 (mod 23)

此时，椭圆曲线不再是一条光滑曲线，而是一些不连续的点，如下图所示。以点(1,7)为例，7? ≡ 1? + 1 + 1 ≡ 3 (mod 23)。如此还有如下点：

(0,1) (0,22)　　(1,7) (1,16)　　(3,10) (3,13)　　(4,0)　　(5,4) (5,19)　　(6,4) (6,19)　　(7,11) (7,12)　　(9,7) (9,16)　　(11,3) (11,20)　　等等。

另外，如果P(x,y)为椭圆曲线上的点，则-P即(x,-y)也为椭圆曲线上的点。如点P(0,1)，-P=(0,-1)=(0,22)也为椭圆曲线上的点。

相关公式如下：　　有限域GF(p)上的椭圆曲线y? = x? + ax + b，若P(Xp, Yp), Q(Xq, Yq)，且P≠-Q，则R(Xr,Yr) = P+Q 由如下规则确定：

Xr = (λ? - Xp - Xq) mod p　　Yr = (λ(Xp - Xr) - Yp) mod p　　其中λ = (Yq - Yp)/(Xq - Xp) mod p（若P≠Q）, λ = (3Xp? + a)/2Yp mod p（若P=Q）

因此，有限域GF(23)上的椭圆曲线y? ≡ x? + x + 1 (mod 23)，假设以(0,1)为G点，计算2G、3G、4G...xG等等，方法如下：

计算2G：　　λ = (3x0? + 1)/2x1 mod 23 = (1/2) mod 23 = 12　　Xr = (12? - 0 - 0) mod 23 = 6　　Yr = (12(0 - 6) - 1) mod 23 = 19　　即2G为点(6,19)

计算3G：　　3G = G + 2G，即(0,1) + (6,19)　　λ = (19 - 1)/(6 - 0) mod 23 = 3　　Xr = (3? - 0 - 6) mod 23 = 3　　Yr = (3(0 - 3) - 1) mod 23 = 13　　即3G为点(3, 13)

建立基于椭圆曲线的加密机制，需要找到类似RSA质因子分解或其他求离散对数这样的难题。而椭圆曲线上的已知G和xG求x，是非常困难的，此即为椭圆曲线上的的离散对数问题。此处x即为私钥，xG即为公钥。

椭圆曲线加密算法原理如下：

设私钥、公钥分别为k、K，即K = kG，其中G为G点。

公钥加密：　　选择随机数r，将消息M生成密文C，该密文是一个点对，即：　　C = {rG, M+rK}，其中K为公钥

私钥解密：　　M + rK - k(rG) = M + r(kG) - k(rG) = M　　其中k、K分别为私钥、公钥。

椭圆曲线签名算法，即ECDSA。　　设私钥、公钥分别为k、K，即K = kG，其中G为G点。

私钥签名：　　1、选择随机数r，计算点rG(x, y)。　　2、根据随机数r、消息M的哈希h、私钥k，计算s = (h + kx)/r。　　3、将消息M、和签名{rG, s}发给接收方。

公钥验证签名：　　1、接收方收到消息M、以及签名{rG=(x,y), s}。　　2、根据消息求哈希h。　　3、使用发送方公钥K计算：hG/s + xK/s，并与rG比较，如相等即验签成功。

原理如下：　　hG/s + xK/s = hG/s + x(kG)/s = (h+xk)G/s　　= r(h+xk)G / (h+kx) = rG

假设要签名的消息是一个字符串：“Hello World!”。DSA签名的第一个步骤是对待签名的消息生成一个消息摘要。不同的签名算法使用不同的消息摘要算法。而ECDSA256使用SHA256生成256比特的摘要。

摘要生成结束后，应用签名算法对摘要进行签名：

产生一个随机数k

利用随机数k，计算出两个大数r和s。将r和s拼在一起就构成了对消息摘要的签名。

这里需要注意的是，因为随机数k的存在，对于同一条消息，使用同一个算法，产生的签名是不一样的。从函数的角度来理解，签名函数对同样的输入会产生不同的输出。因为函数内部会将随机值混入签名的过程。

关于验证过程，这里不讨论它的算法细节。从宏观上看，消息的接收方从签名中分离出r和s，然后利用公开的密钥信息和s计算出r。如果计算出的r和接收到的r值相同，则表示验证成功。否则，表示验证失败。