数学题，快点！！！！

本节的主要内容是相似三角形的性质，这也是本章的主要内容之一。在研究相似三角形判定的基础上，进一步研究三角形的性质，从而完成对相似三角形的定义、判定和性质的全面研究。

1.相似三角形的性质

(1)个相似三角形对应的角度相等，对应的比例成正比。

(2)相似三角形与高度之比、与中心线之比和与角平分线之比都等于相似比。

(3)相似三角形的周长比等于相似比。

以上几项可以总结为:相似三角形中对应线段的比值等于相似比。

(4)相似三角形面积之比等于相似三角形相似比的平方。

2.相似三角形性质的应用。

(1)可用于证明线段成比例(或等积线段)且角度相等。

(2)从相似三角形中的一些已知元素中找出未知元素(边、高、角平分线、中线、角)。

(3)用于计算周长、面积等。

(4)用于证明线段的等分(或面积比)。

重点难点分析

示例1如图5.5-1所示。已知△ABC∽△a′b′c′，点d和d′是BC和b′c′的中点，AE⊥BC在e，a′e′⊥b′c′在e

分析要求△ADE与△a′d′e′相似，这两个三角形是直角三角形。判断直角三角形的相似定理，只需要证明斜边和直角三角形成比例，斜边和直角三角形分别正好是△ABC和△a′b′c′的中线和高(即两个相似三角形对应的线段)。

证明了:△ABC∽△a′b′c′ad和a′d′分别为中线，AE和a′e′分别为高。

∴= =∴rt△ade∽rt△a′d′e′

例2如图5.5-2所示。在△ABC，EF‖BC，ef = BC = 2cm，△AEF的周长是10cm。求梯形BCFE的周长。

在分析中，我们可以从EF= BC得到=即相似比，然后从相似三角形性质得到△ABC的周长。两个周长之差加上EF的长度就是梯形BCFE的周长。

解:ef =公元前∴ =

公元前∴△AEF∽△ABC

∴ = =

∴ =

∴△ABC周长= 15(厘米)

梯形BCFE的∴周长= △ ABC周长-△AEF周长+2EF

=15-10+4=9(厘米)

例3如图5.5-3所示。在△ABC，DE‖BC，s △ ade ∶ s △ ABC = 4 ∶ 9中，①求AE∶EC；②求S△ADE∶S△CDE。

本文分析了相似三角形的性质、它们的组合比例以及三角形面积的计算公式。比值由=得到，然后由比例相关性质得到AE∶EC、△ADE和△CDE的高度，AE∶EC由三角形面积计算公式得到。

解决方案:①卑诗省∴△ADE∽△ABC

∴ = ∴ =

∴ = =

即=

②连接CD，将d交叉为DH⊥AC，将AC交叉为h

= = =

例4如图5.5-4所示，已知m是□ABCD的AB边的中点，CM在E点与BD相交，那么图中阴影面积与平行四边形ABCD的比值是多少？

这是一道综合试题，考查相似三角形的性质、面积计算和等积定理等。设DN⊥AB在n，e在f，GF⊥AB在f .

∫M是AB的中点。

∴S△AMD=S△DMB= S△ABD= S□ABCD

∫s△MBD = s△MBC(两个底高相同的三角形面积相同)

∴ s △ MBD-s △ MBE = s △ MBC-s △ MBE，即s △ DME = s △ CBE。

∵MB‖DC,∴△BEM∽△DEC

= =，因此=

∵DN=GF,∴ =

又来了:= =

∴ =，即S△DME= S△MBD。

∴S△DME= × S□ABCD= S□ABCD

∴s△dme+s△bmc= s□ABCD+s□ABCD = s□ABCD

因此，图5.5-4中阴影面积与平行四边形面积之比是。

例5如图5.5-5，将正方形ABCD的边BC延伸到E，使CE = AC，AE和DC相交于F点，求CE∶FC的值。

这是一道考查运用相似三角形的性质解题能力的考题。设正方形的边长ABCD为A，则AC = A，AB = A，BE =+1) A .

解:∫DC‖ab，∴△ECF∽△EBA，=，从而= =+1，即EC ∶ FC = (+1) ∶ 1。

例6如图5.5-6，□ABCD，其中E为BC上面的一点，AE在F点与BD相交，已知Be ∶ EC = 3 ∶ 1，S △ FBE = 18，求S△FDA。

通过分析给定的条件，我们很容易得到△FBE∽△FDA。那么，从Be ∶ EC = 3 ∶ 1，我们就很容易得到Be ∶ AD = 3 ∶ 4，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以就得到S△FDA。

解:从□ABCD，得到BE‖AD ∴△FBE∽△FDA.

∵BE∶EC=3∶1 ∴BE∶BC=3∶4

∵公元前=公元，∴比∶公元= 3 ∶ 4。

∴ = () 2，也就是= () 2。

∴S△FDA= =32。

解决困难的巧妙方法

示例1如图5.5-7所示。在△ABC中，∠ACB = 90°，BC = 8 cm，AC = 6 cm，C是圆心，CA是半径，那么AD的长度是多少？

本题分析是一个综合题，考查的知识点有相似三角形的判断和性质、等腰三角形的性质等。要求AD，我们发现△CAD链接CD后是一个等腰三角形，要求等腰三角形底边的长度。所以，如果我们想到e中的CE⊥AB，AE= AD，如果能找到AE的长度，问题就解决了。因此，我们只需要证明△ AEC ≁.

解决方法:制作e调的CE⊥AB，连接CD。

CA = CD

∴ AE = AD，也就是AD = 2AE。

AB = 10是由已知条件和勾股定理得到的。

∠∠ACB =∠AEC，∠A=∠A

∴△AEC∽△ABC

∴ =

∴ ac2 = AE ab，即62 = AE× 10。

所以AE = 3.6(厘米)

∴AD=7.2(cm)

例2如图5.5-8所示。在△ABC，DE‖BC中，从AB中取一点f，使S △ BFC = S △ Ade，验证:Ad2 = AB BF。

证据:公元前∴△ADC∽△ABC.

∴ =

∴s△ade=s△bfc :=

并且= =

= = BF，即Ad2 = AB BF。

搂抱:解决这个问题的关键是利用相似三角形的性质和三角形的面积计算公式，找出比例公式或乘积公式。

例3如图5.5-9所示。矩形FGHN内接△ABC，f和g在BC上，n和h分别在AB和AC上，AD⊥BC在d上，NH在e上，AD = 8 cm，BC = 24 cm，NF ∶ NH = 1 ∶ 2。求这个矩形的面积。

解决方案:∴△ANH∽△ABC不列颠哥伦比亚省

AE和AB分别是△ANH和△ABC的高度。

∴ =

设nf = x，那么NH = 2x。

AE=AD-ED=8-x

∴ =

解:x = 4.8

∴2X=9.6

∴S直角坐标ABCD = NH NH = 9.6× 4.8 = 46.08 (cm) 2

指点:利用相似三角形的性质得到一个比例公式，然后通过量的转换将比例公式的若干个未知数转化为一个未知数，用代数的方法解决一些计算问题。是解决问题的重要方法。

教科书问题解决

示例1如图5.5-10所示。在矩形ABCD中，AB=a，BC = B，m是BC的中点，DE⊥AM和e是垂足。验证:DE=。(P248B.2)。

分析表明，由△ADE∽△MAB可得AD ∶ AM = DE ∶ AB，DE与A和b相关联.

证明:根据直角ABCD，∠ B = 90 ad ‖ BC。

∴∠DAE=∠AMB

∵DE⊥AM ∴∠DEA=∠B=90

∴△ade∽△mab :=

ad = a，ab = b，m为BC的中点。

∴AM= = =

∴DE= =

命题趋势分析

该部分中考重点是综合运用相似三角形的判定、性质定理等几何知识进行计算和证明，通常是证明比例线段、等积线段，求三角形的边长和面积。

典型热点问题

例1如图5.5-11，在□ABCD中，AE ∶ EB = 1 ∶ 2，S △ AEF = 6cm2，则S△CDF的值为()。

a . 12 cm2 b . 24 cm2 c . 54 cm2 d . 15 cm2

分析类似于上面的例子，但是有一些变化。由AE ∶ EB = 1 ∶ 2，AE ∶ AB = 1 ∶ 3。

解:∫□AB=CD，ab = CD，∴ AE ∶ CD = 1 ∶ 3。

∵AE‖CD,∴△AEF∽△CDF

∴ =( )2,

也就是= () 2

∴ s △ CDF = 54 (cm) 2，所以c .

例2如图5.5-12，在△ABC，AB = 7，AD = 4，∠ ACD = ∠ B，求AC的值。

分析本题，考察应用相似三角形基本性质的能力。

解:∫∠A为角度∠ ACD = ∠ B，

∴△ACD∽△ABC ∴ =，

也就是ac2 = ad ab。

∴AC=

=

= 2(减去根)。

例3如图5.5-13，在△ABC，DE‖BC，S△ADE∶S四边形BCED = 1 ∶ 2，BC = 2。求DE的长度。

分析本题，考察应用相似三角形的性质解决实际计算问题的能力。

∵DE‖BC,∴△ADE∽△ABC.

需要DE的长度，因为BC的长度是已知的，所以只需要相似比的值。由S△ADE∶S四边形BCED = 1 ∶ 2可知，S △ ade ∶ S △ ABC = 1 ∶ 3。对比相似三角形的面积比和相似比之间的关系，不难发现。解题思路顺畅。

解:∫S△ADE∶S四边形BCED = 1 ∶ 2。

∫S△ADE∶S△ABC = 1∶3

和公元前\de \u年，

∴△ADE∽△ABC.∴DE∶BC=1∶

∫公元前=2 ∴DE= =2

例4如图4.4-14所示，过△ABC的顶点C是分别与AB边和中线AD在F点和E点相交的直线，交点D是DM‖FC与AB在m点相交.

(1)若S△AEF∶S四边形MDEF = 2 ∶ 3，求AE∶ed；

(2)验证:AE FB = 2af ed。

解析(1)这是一个综合能力测试。如果测试中有平行条件，会发现相似的三角形。测试中给出的面积比可以转化为相似三角形的面积比。有了面积比，就可以得到相似比，再进行变换，就可以求解(1)。(2)证明等积公式，可以转化为等比公式，其实就是平行线。

解:(1)∫S△AEF∶S四边形MDEF = 2 ∶ 3。

∴S△AEF∶S△ADM=2∶5

∫DM‖cf ∴△aef∽△adm

∴ =

= = =

所以AE ∶ ed = (+2) ∶ 3。

(2)证明:∫DM‖cf∴=

∴ =

∫d是BC的中点∴M是FB的中点，即2fm = FB。

∴ =，即AE FB = 2af ed。

本周强化练习:

同步大纲练习

一、填空

1.如果相似三角形对应边的比是1∶3，则它们的面积比是。

2.给定两个相似三角形的相似比是，它们对应的高度之比是。

3.如图5.5-15，在△ABC和△BED中，如果= =，且△ABC和△BED的周长之差为10cm，则△ABC的周长为cm。

图5.5-15图5.5-16

4.如果两个相似三角形的相似比是2∶3，它们的面积之和是13cm2，那么它们的面积分别是。

5.如图5.5-16所示，已知C是AB线上的一点，△ACM和△BCN都是等边三角形。如果AC = 3，BC = 2，BM穿过CN到D，△MCD与△BND的面积比是。

6.如果两个相似的三角形的高度比为4 ∶ 5，那么它们的面积比为4∶5。

7.两个相似三角形的面积比是1: 9，所以它们对应的高比是。

8.如图5.5-17，在△ABC，DE‖BC，=，且s △ ABC = 8cm2，则s △ ade = cm2。

9.如果两个相似三角形的相似比是2∶3，那么它们的面积比是。

10.如果两个相似三角形的对应边之比为4∶5，周长之和为18cm，那么这两个三角形的周长分别为cm和cm。

二、选择题

1.如图5.5-18，DE‖BC，and =，则△ADE与△ABC的面积比是s △ ade: s △ ABC =()。

A.2∶5 B.2∶3 C.4∶9 D.4∶25

2.如图5.5-19，△ABC∽△ACD，相似比是2，则面积比S△BDC∶S△DAC是()。

a . 4∶1 b . 3∶1 c . 2∶1d . 1∶1

3.给定两个相似三角形的周长分别为8和6，它们的面积比是()。

A.4∶3 B.18∶9 C.2∶ D

4.当两个相似三角形的面积比是1: 2时，周长比是()。

A.b . 1∶c . 1∶4d . 4∶1

5.如图5.5-20所示，Rt△ABC中∠ACB为直角，CD⊥AB在d中，下列公式错误的是()。

A.AC2 = AD AB B . BC2 = BD BA C . CD2 = AD DB D . AB2 = AC BC

6.在Rt△ABC，∠ AC=b = 90，CD⊥AB，竖足为d，设BC = A，AC=b，若AB = 16，CD = 6，A-B =()。

A.4 B. 8 C.8 D.4

7.满足下列条件的两个三角形必全等()

一个相似且对应的中值比等于1 B .两边和其中一个对角线相等。

C.这三个角相等。d .两边和第三边的高度相等。

8.在ABCD的平方中，e是AB的中点，BF⊥CE在f中，那么S△BFC∶S的平方ABCD等于()。

1∶3 b . 1∶4 c . 1∶5d . 1∶8

9.如图5.5-21所示，将△ABC的高度AD分成三等份，过各平分线为与底的平行线，使三角形分成三等份。设这三部分的面积分别为S1，S2和S3，则S1: S2: S3等于()。

a . 1∶2∶3 b . 2∶3∶4 c . 1∶3∶5d . 3∶5∶7

10.如图5.5-22所示，在△ABC，∠CBA = 90°，BD⊥AC在d中，那么下列关系式中错误的是()。

A.BD2 =公元AC B . BD2 =公元DC C.AB2=AC2-BC2 D.AB2=AC BC

第三，回答问题

1.如图5.5-23所示，∠ 1 = ∠ 2，∠ B = ∠B=∠D，AB = DE = 5，BC = 4。

(1)验证:△ABC∽△ade；(2)求AD的长度。

2.如图5.5-24所示，Rt△ABC中∠ c = 90，d中CD⊥AB，验证Cd2 = ad db。

3.如图5.5-25所示，在□ABCD中，BC = 2ce，求:S△CEF∶S□ABCD。

4.如图5.5-26所示，已知ED⊥AB，AC⊥EB，d，c为垂足，g为DE上面的一点，AG⊥BG，垂足为G.ED，AC满足f验证:dg2 = de df。

5.如图5.5-27所示，在等腰三角形AB=AC，AB = AC中，AD⊥BC在d中，CG‖AB，BG分别在e和f中，证明了BE2 = EF EG

质量优化培训

如图5.5-28所示，在△ABC中，BC = 24，高度AD = 12，矩形EFGH的两个顶点E和F在BC上，另外两个顶点G和H分别在AC和AB上，EF ∶ EH = 4 ∶ 3。求ef和eh的长度。

生活的实际应用

一条河的两岸有平行的一段。河这边每隔5米就有一棵树，河那边每隔50米就有一根电线杆。在离岸边25米的河对岸看，可以看到对岸相邻的两根电线杆刚好被这边的两棵树遮住，中间隔着三棵树。请询问这条河的宽度。

知识探究学习

如图5.5-29所示，瞄准时，要求枪的刻度上的凹口应沿中心A即瞄准点C(上图)成一条直线，这样才能击中目标。已知冲锋枪的基线AB长38.5cm。如果射击距离AC = 100 m，当缺口内瞄准点偏差BB '为1mm时，就会命中偏差。

参考答案

一、1.1:92 . 3 . 25 4.4平方厘米和9平方厘米5.9: 46.16: 257

. 1∶3 8.2 9.4∶9 10.8厘米、10厘米

二、1 . D2 . B3 . B4 . b5 . D6 . B7 . A8 . C9 . c 10 . d。

三。1.①省略②

2.证书△ACD∽△CBD

3.1∶12

4.先证明△ADF∽△EDB，再证明△AGD∽△GBD。

5.偶数EC，证书△ FEC △ CEG

质量优化培训ef = 9.6 eh = 7.2

这条河有37.5米宽。

知识探究学习的影响偏差cc’约为26.0cm