描述这些立面的形状。

连接二十面体的一对对边会形成一个长方形，它的长宽比就是黄金分割比(约1.618)。如果用卡片纸剪出三个相等的矩形，如图1对称地粘合在一起，它的12顶点会落在一个二十面体的顶点上。

用这种方法做一个正二十面体，可以用卡片纸做几个13cm×8cm的长方形(斐波那契数列中两个相邻数的比值是黄金比例的很好近似，见数学天堂，见《The Open》)。在长方形的卡片纸上剪出长长的口子，然后嵌在一起，再用彩色的毛线或松紧带做边。在每个角落剪下。

以设计短程线穹顶而闻名的美国建筑天才巴克明斯特·富勒(Buckminster Fuller)专门对有柱有张力的钢丝结构进行了研究，其中很多都是关于“最小结构”，即找出能在空间某个位置保持给定数目的点的最简单结构。图2是Fuller提出的二十面体结构中12顶点的解法。图中六根柱子的位置就是前面提到的模型中三个矩形卡片长边的位置，然后用钢丝或者尼龙丝把端点连接起来。

图2中没有显示一些线条(边缘)。富勒发现，在他设计的结构中，并不需要将二十面体的所有边缘都用钢丝连接起来，这样就可以固定柱子。如果你仔细观察，你会发现每根柱子的端点都用四根钢丝连接起来，这比一个完整的二十面体的每个顶点都有五条边的情况更吸引人。

做这个模型并不太难。准备一些直径为6mm的钉棒，每36cm剪一段，* *剪出六小段(柱子)。然后在每根柱子的末端剪出一个5mm深的狭缝，用细绳缠绕六个环将柱子连接起来。绳子的长度是每个环中的关键，如图3所示的ABCD和RQPS环，当绳子拉紧时，应该是72cm长。

很重要的一点是模型的结构很容易调整，细绳紧紧卡在柱子末端的细缝里，即使不拉紧也能保持模型的形状。

首先，用两个电路连接四个支柱，如图3所示，然后用另外四个电路连接剩下的两个支柱。

从制作过程到成品呈现，这个模式真的是中规中矩。

知道正八面体吗

发布日期:2006-11-24

这里要讨论的是由八个等边三角形组成的八面体，每个顶点有四个三角形相交于此(图1)，其他顶点也是如此。放大图2，做一个八面体。用边长8cm的三角形做的模型，大小适中，用A4纸或者卡纸都刚刚好。如果你用卡片纸，记得在每一行刻上印记。

我们可以从很多角度观察八面体，每个角度都可以让我们更好的理解它。从展开的图构建模型使我们的注意力集中在脸的形状和在顶点相遇的脸的数量上。但是当你制作模型的时候，八面体的其他属性是显而易见的。想象将八面体水平切成两半，截面经过顶点A、B、C和D4，如图3所示。将八面体切成两个相等的正方形底的金字塔。如果旋转八面体，使得任何其他顶点(如A或B)在上方，结果将是相同的。事实上，如果八面体上没有标记，就无法区分一个顶点与其他顶点的区别。表面也是如此。

由于这种对称性，通过一对相对顶点的任何等分将产生如图4所示的正方形截面。

这给了我们一个观察八面体的新角度，也提供了不同的制作模型的方法。

用卡片纸剪出两个正方形来代表切面ABCD和EBFD..如图5所示，在这两个正方形中剪出狭缝，然后沿着BOD合并两张纸。

当这两张卡片相互垂直时，点A、B、C、D、E和F6是八面体的顶点。

继续完成这个模型。剪切第三个正方形以代表AECF剖面；；将正方形沿对角线EF分成两半，然后沿OA和OC切一条细缝，如图6所示；现在附上这两个半方块完成模型，然后用胶水或胶带纸固定。

另一种制作模型的方法是用三个正方形的框架，重点是八面体的正方形截面(可以用旧的铁丝衣架，铁丝可以涂上不同的颜色)。角用线扎起来，这个模型强调的是八面体的边。

你也可以通过将线或松紧带穿入吸管来制作这个八面体模型(图7)。但是在使用吸管的时候，一般是先做一个三角形，然后在上面放上其他三角形，直到模型完成。你也可以用四根吸管做三个独立的圆环，分别代表切面ABCD、AECF和BEDF，然后把它们连在一起。在最终连接之前，这个模型没有固有的刚性。这是。

从八面体中的一个顶点开始，比如A，可以找到一条路径，这条路径穿过所有的边，然后返回到起始点，而不需要重复穿过任何边，比如:

A→B→E→D→F→B→C→D→A→E→C→F→A

Doudney曾以此为基础设计了一个拼图。他要求读者找出从一个顶点有多少条这样的路径。路径的数量是惊人的。请设法找到他们。

既然这个路径存在，那就意味着你可以做一个由12根吸管连接而成的闭环的八面体。请试一试。

如果把吸管的八面体放在窗帘前面，然后用光照射，会有各种形状的投影，但最令人惊讶的是会有六边形及其对角线(图8)。这是怎么做到的？

只要在吸管模型的一边加上三根吸管，就可以很容易地做成一个四面体。如果这样的四面体在八面体的每一边都有间隔，结果是一个更大的四面体。

观察正八面体和正四面体关系的另一种方法是对称地切掉正四面体的角，如图9所示。

如果以八面体为起点，在其八个面上加一个四面体，结果会是一个八角星或者两个正四面体相互穿插，两者之间相同的部分就是原来的八面体，如图10所示。

现在仔细观察八角星，可以发现每个角也是立方体的顶点，如图11；同时，原八面体的顶点也位于立方体各边的中心，如图12所示。

其实立方体和八面体的密切关系远不止这些。如果我们从一个八面体开始，画线连接相邻面的中点，我们可以形成一个立方体，如图13所示。因此，我们称立方体和八面体为“对偶”立体，它们具有相同的对称性。立方体的任何对称平面也是八面体的对称平面。无论是立方体还是八面体，从割角到末端的形状都是“立方八面体”，如图14。

天然晶体通常形成各种形状，例如氯化钠晶体是立方体，明矾晶体是正八面体，辉银矿晶体是正八面体。只要我们明白球体可以以各种方式堆叠在一起填充空间，晶体具有不同的形状就不足为奇了。下图是几种常见的排列方式以及它们与各种形状的关系，但是要真正了解它们之间的关系，最好用小球做一个模型。

在图15和图16中，球在每一层上都排列成正方形，在新层上也是如此。这被称为“立方体包装”，如图15所示。如果认为六个球接触了一个特定的球，如图16所示，那么这六个球的中心是。新一层球全部位于上一层球形成的凹孔中，也能呈现正八面体的形状，如图17所示。一个正方形八面体可以看成是一层排列成六边形的球，而新的一层球位于前一层形成的每个凹洞中，如图18所示。在这种情况下，应该注意，球在间隔层之间不是上下直接连接的。

五角十二面体

来自皮果维基

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Image:Dodekaeder-Animation.gif正十二面体是由12个正五边形组成的正多面体。

如果正十二面体的中心是(0，0，0)，那么它的顶点坐标是{(0，1/φ，φ)，(1/φ，φ，0)，(φ，0，1/φ。

图片:十二面体flat.png

哈密尔顿图的理论来源于一个与正十二面体相关的问题:试图找到一条沿着正十二面体的边穿过其所有顶点的路径。