跳水士兵的文化审视

在牛顿时代的所有数学中，牛顿的工作超过了一半。的确，牛顿在天文学和物理学上取得了巨大的成就，在数学上，从二项式定理到微积分，从代数和数论到经典几何和解析几何，有限差分，曲线分类，计算方法和逼近论，甚至概率论，都有创造性的成就和贡献。

发现二项式定理

1665年，年仅22岁的牛顿发现了二项式定理，这是微积分全面发展必不可少的一步。二项式定理认为能量是通过直接计算发现的。

二项式级数展开是研究级数理论、函数理论、数学分析和方程理论的有力工具。今天我们会发现这种方法只适用于n为正整数的情况，当n为1，2，3的正整数时，.....，该系列正好在n+1处结束。如果n不是正整数，数列不会结束，此方法不适用。但要知道，莱布尼茨是在1694年才引入函数这个词的。在微积分的早期阶段，用超越函数的层次来对待超越函数是最有效的方法。

创建微积分

牛顿在数学方面最杰出的成就是创立了微积分。他的突出成就是把古希腊以来各种解决无穷小问题的特殊技巧统一为两种通用算法——微分和积分，并建立了这两种运算之间的互逆关系。比如面积计算，可以看作是求切线的逆过程。

当时莱布尼茨刚刚提出微积分的研究报告，就引发了微积分发明专利权的争论，直到莱布尼茨去世也没有停止。而后世已经认定，差积是他们同时发明的。

在微积分的方法上，牛顿极其重要的贡献在于，他不仅清楚地看到了，而且极大地利用了代数所提供的方法论，这比几何优越得多。他用代数方法代替了卡瓦列里、格雷戈里、惠更斯和巴罗的几何方法，完成了积分的代数化。此后，数学逐渐从感觉的学科转向思维的学科。

在微产品产生的早期，由于没有建立起坚实的理论基础，被别有用心的人利用。这导致了著名的第二次数学危机。这个问题直到19世纪极限理论建立才得以解决。

引入极坐标发展三次曲线理论

牛顿对解析几何做出了深远的贡献。他是极坐标的创始人。第一个广泛地研究了高次平面曲线。牛顿证明了如何把一般的三次方程

在《三次曲线》一书中，牛顿列出了三次曲线78种可能形式中的72种。这些是最吸引人的；最难的是:正如所有的曲线都可以作为圆的中心投影得到；所有三次曲线都可以用作曲线。

投影的中心。这个定理在1973被证明之前一直是个谜。

牛顿的三次曲线为研究更高的平面直线奠定了基础，阐述了渐近线、节点和点的重要性。牛顿在三次曲线上的工作启发了许多其他关于更高平面曲线的研究工作。

高级方程理论，开放变分法

牛顿还对代数做出了经典贡献，他的广义算术极大地促进了方程理论。他发现实多项式的虚根必须成对出现，并发现了多项式根的上界规律。他用多项式的系数表示了多项式的根的和公式，并给出了限制实多项式虚根个数的笛卡儿符号法则的推广。

牛顿还设计了求数值方程和超越方程的实根的近似值的对数的方法。这种方法的修改现在被称为牛顿法。

牛顿在力学领域也有重大发现，力学是解释物体运动的科学。第一运动定律是伽利略发现的。这个定律说明，如果一个物体处于静止或匀速直线运动，只要没有外力，它就会保持静止或继续匀速直线运动。这个定律也被称为惯性定律，它描述了力的一个性质:力可以使一个物体从静止运动到运动，从运动到静止，也可以使一个物体从一种运动形式变为另一种运动形式。这就是所谓的牛顿第一定律。力学中最重要的问题是物体在相似的情况下如何运动。牛顿第二定律解决了这个问题；这个定律被认为是经典物理中最重要的基本定律。牛顿第二定律定量描述了力可以改变物体的运动。表示速度的时间变化率(即加速度A与力F成正比，但与物体质量成反比，即a=F/m或F = Ma力越大，加速度越大；质量越大，加速度越小。力和加速度都有大小和方向。加速度是由力引起的，方向与力相同；如果有几个力作用在一个物体上，合力就会产生加速度。第二定律是最重要的，所有的幂的基本方程都可以通过微积分从中推导出来。

此外，牛顿根据这两个定律制定了第三定律。牛顿第三定律指出，两个物体之间的相互作用总是大小相等，方向相反。对于直接接触的两个物体来说，这个定律更容易理解。书对子桌子的向下压力等于桌子对书的向上支撑，即作用力等于反作用力。重力也是如此。飞行中的飞机拉起地球的力在数值上等于地球拉下飞机的力。牛顿运动定律广泛应用于科学和动力学中。

初等平面几何

公理

1任意两个不同的点确定一条穿过它们的直线。

设AB为给定线段，OX为已知射线，则射线OX上只有一个点C，这样线段OC=AB。

可以移动几何图形而不改变其形状和大小。

4平行公理:通过已知直线外的一点，最多可以画出一条与已知直线平行的直线。

5阿基米德公理:给定线段AB & gtCD，当用后者来度量前者时，被度量几次后总会超过前者，或者一定有正整数n，使得(n-1)CD≤AB≤Ncd。

双轴对称和中心对称

1的轴对称:沿着一条直线对折，直线两边的部分完全重合。这条直线叫对称轴，能重合在一起的点叫对称点。如果这是一个图，就叫轴对称图。(例如等腰三角形)

性质:对称点的垂线是对称轴。

2中心对称:两个图形绕一个中心旋转180°可以相互重叠。这个点叫做对称中心，可以重叠的点叫做对称点。如果这是一个图，则称它为中心对称图。(例如平行四边形)

性质:对称点的中点是对称的中心。

三个基本概念

中间垂直线的平分线和1线段的角度

(1)中垂线的性质：

1的垂线上的任意一点与线段两端的距离相等。

2与线段两端等距的所有点都在中间垂线上。

(2)角平分线的性质:

1°角平分线上的任一点与同一个角的两边等距。

2在一个角的两边等距的所有点都在角的平分线上。

2视角

(1)线段的视角:当从一点发出两条光线穿过已知线段的两端时，这两条光线所形成的角度称为该点对已知线段的视角。

(2)点到圆的透视:从圆外的一点画出的两条切线(视为射线)，这两条切线之间的夹角称为点到圆的透视。

三个全等三角形

1判定定理:s . a . s . a . s . a . a . s . s . a(大棱角)

S.s.a:两个三角形必全等，如果两个边和它们的大边的对角线对应相等。

证:A/Sina = A1/Sina 1，B/SINB = B1∈(0/SINB 1，若A和A1都是大面，则a = A1，B = B65438。

Max (b，b1) ≥ 90，与B，b1是小矛盾，所以B=B1。

注意:小棱角无效。

2全等直角三角形:

(1)直角边，直角边

(2)直角斜边

(3)直角边、相邻角或相对锐角

(4)锐角斜边

四条平行线

1的存在定理:在一个平面上，垂直于一条已知直线的两条直线互相平行。

2判定定理:已知的两条直线被第三条直线所截。如果下列条件之一成立，则两条已知直线相互平行:

1等腰角相等。

2内部位错角度相等。

3与同侧内角互补。

3性质定理:如果两条直线被第三条直线切割，那么它就形成了。

1等腰角相等。

2内部位错角度相等。

3与同侧内角互补。

推论:(1)如果两条直线垂直于两条平行线中的一条，则它们也垂直于另一条。

(2)相贯线的垂线也相交。

4平行切割定理:

(1)两条直线被一组平行线切割。如果在一条线上切割的线段相等，则在另一条线上切割的线段也相等。

如果两条直线被一组剖切线切割成相等的线段，并且其中两条剖切线平行，则所有剖切线相互平行。(注意不是1的逆定理)

(2)角平行切割定理:一个角的两边都被平行线切割。如果在一侧切割的线段相等，则在另一侧切割的线段也相等。

角度平行切割定理逆定理:一个角度的两条边被一组切割线切割成相等的线段，那么所有的切割线互相平行。

(3)关于比例的平行切割定理:

1两条直线被一条平行于第三边的直线切割，切割的线段必须成比例。

2如果两条直线被一组截线按比例截开，且其中两条截线平行，则所有截线相互平行。

3三角形的两条边被一组平行线切割，切割的线段必须成比例。

4逆定理:如果三角形的两条边与直线切割的线段成正比，那么这条直线与第三条边平行。

(4)中线定理

1的任意一个三角形的中线平行于第三条边，等于这条边的一半。

2梯形的中线平行于底部，等于两个底部之和的一半。

五个图形

(1)三角形

1外角定理:三角形的每个外角都大于任何一条内对角线。

2等腰三角形:四条线合二为一

3三角形不等式定理:

(1)大边对大角，大角对大边。

(2)在三角形中，任何一条边小于其他两条边之和，大于它们之差。

推论:对于任意三个点a，b，c，总有∣AB-AC∣≤BC≤AB+AC.

(3)如果两个三角形有两条相等的边，那么

1的角度大，对面大。

2第三边更大，对角线更大。

4五颗心

(1)外圆心:三边垂线的交点也是外接圆的圆心。

(2)重心:三边中线的交点。

(3)垂直中心:三条高线的交点(且三个顶点形成垂直中心组)

(4)内心:三个内角平分线的交点也是内切圆的圆心。

(5) Paracenter:一个内角和另两个内角的一个外角的三条平分线的交点有三点，也是切圆的圆心。

内角和外角平分线定理:设三角形及其外角的平分线与对边及其延长线相交，则交点分别分为内对边和外对边，得分比等于两邻边之比。(逆定理存在)

6正三角形:PA≤PB+PC，当P位于其外接圆中与A点相对的圆弧BC上时，取等号。

(2)平行四边形

1定义:两对对边相互平行的四边形。

2性质定理:

1两对对边相等。

2两对对角相等。

三条对角线平分。

3判定定理:具有下列条件之一的四边形必是平行四边形。

1两对对边相等。

2两对对角相等。

三条对角线平分。

4一对对边平行且相等。

4矩形:等角平行四边形(两条对角线相等，连接对边中点的线为对称轴)

菱形:等边平行四边形(两条对角线平分，对角线对称)

正方形:既是矩形又是菱形的四边形(4个对称轴)。

③梯形

1定义:有一对对边平行的四边形。

2等腰梯形:两腰相等，两底角相等，对角线相等，两底中点连线为对称轴。

(4)多边形

1内角之和:(n-2) * 180，外角之和:360。

正多边形:边和角相等的多边形。

(5)圆

1对称:以圆心为对称中心，任意直径为对称轴。

2不等式定理:弧、弦、圆心角、弦心距l = r θ = (n 180) * 2π r。

3切线定理

(1)圆的切线垂直于切点的半径。

(2)通过圆半径外端并垂直于该半径的直线为圆的切线。

(3)从圆外一点画出的两条切线长度相等，从该点到圆心画出的射线平分该点到圆的视角。

(4)公切线定理:两个圆的两条外切线等长，两条内公切线也等长。

(5)两圆相切定理:

1相切两个圆的切点在连线上，反之，两个圆连线上的同一点必相切。

2的外接圆的充要条件是OO'= R+R'+R '，内切圆的充要条件是oo ' =∣r-r ′∣.

4圆周角:顶点在圆上，两边与圆相交的角。

(在圆中，同一圆弧对着的圆周角等于对着的圆心角的一半)

弦角:一边与圆相交，另一边与圆在顶点相切的角度。

(圆的正切角等于它所包含的弧的圆周角)

圆内角:圆内顶点的角度。

(圆的内角等于其自身所对的圆周角和顶角中包含的弧的总和)

圆的外角:顶点在圆外，两边与圆有公共点的角。

(圆的外角等于它所包含的两个圆弧的圆周角之差)

总结:1是同弧:圆的内角>；圆周角=弦切角>圆的外角

2如果一个角和一个圆的两边有公共点，并且等于圆的角，那么这个角的顶点一定在圆上。

5圆内接四边形:对角互补。(逆定理存在)

圆形外切四边形:对边和相等。(逆定理存在)

6圆幂定理:给定圆o，若任一割线通过点p穿过a和b，则

P=PA*PB=∣PO2-R2∣，设p’= PO2-R2，p’的这个值叫做点p对圆o的幂，具体来说，圆外一点的幂为正，圆内一点的幂为负，圆上一点的幂为零。

7四* * *圈判断:

(1)对角互补四边形

(2)两个点以相等的视角指向一条线段

(3)幂定理:PA*PB=PC*PD。

六个相似的三角形

1基本定理:平行于三角形一边并与其他两边相交的直线，割出的三角形与原三角形相似。

2判定定理:两个三角形若满足下列条件之一，则必相似:

(1)两对对应的角度相等(平均)

(2)一对对应的角相等，它们的边成比例

(3)三对相应的边成比例(s.s.s)

(4)两对相应的边成比例，并且主边的对角线相等(S.s.a)

3相似三角形中任意一对对应线段(如对应的高度、中线、角平分线)之比等于相似比。

七个领域

s(平行四边形)=ah=absinα

s(矩形)=ab

s(diamond)= ah = absinα=(1/2)l 1 L2。

S (square) =a2= (1/2)l2

s(三角形)=(1/2)ah =(1/2)ABS Inc .

s(圆)=πR2

s(扇区)=(n/360)πR2 =(1/2)θR ^ 2。

s(bow)=(1/2)R2(απ/180-sinα)

贝里席纳尔公式:S(四边形)=(1/4)[4e2f 2-(A2-B2+C2-D2)2]1/2。

Brahmagudda公式:s(内接于圆的四边形)=[(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)]1/2(s为半圈)。

海伦公式:s(三角形)= [s(s-a)(s-b)(s-c)] 1/2。

八个基本轨迹:

与两个已知点等距的1的轨迹是这两个点之间连线的中间垂直线。

在一个已知的角内，两边等距的点的轨迹就是这个角的平分线。

与两条平行的已知直线等距的点的轨迹是一条直线，它与这两条已知直线平行，并与它们等距。

到已知直线的距离为固定长度的点的轨迹是在已知直线的两侧且平行于已知直线的一对直线，其中到每条已知直线的距离等于固定长度。

5到定点的距离等于定长点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆。

对于某一线段，视角等于固定角的点的轨迹是以该固定线段为弦的双圆弧。

7对于某一线段，视角等于直角的点的轨迹是以该固定线段为直径的圆。

九个特殊概念

1欧拉线:三角形的外中心、重心和垂直中心的线。

(重心到一边的距离等于对面顶点到垂直中心距离的一半)

牛顿线:一个完整四边形的三条对角线的中点。

3米克点:一个完全四边形的边相交成四个三角形，它们的外接圆是* * *点。

4西摩松木线:

(1)三角形三边上的点或其延长线的正投影线的充要条件是:点在三角形的外接圆上。正投影所在的直线称为三角形在某一点的辛普森线。

(2)四边完全四边形的米克点的正投影线。这条线叫做完全四边形的辛普森线。

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