数学建模
一.问题的重述
一个学科的水平和地位是高校的重要指标，而学科交叉水平的评估对学科的发展有着重要的作用，可以使每个学科更深刻地认识到本学科(相对于其他学科)的地位和不足，更好地促进学科的发展。因此，如何给出合理的学科评价体系或模型一直是学科发展研究的热点问题。某大学(科研教学重的大学)13学科在一段时间内的调研数据，包括各种建设效果的数据和前期投入的数据。
1.根据给定的数据建立学科评估模型，这需要必要的数据分析和建模过程。
2.模型分析，给出模型的适用性和合理性分析。
3.假设数据来自某科研或教学型大学，请给出相应的学科评价模型。
第二，问题假设
1，学科评价不受国家政策、地方政府导向等宏观调控的影响。
2.学科的实力和地位不会因为短期内的突发情况而突然改变。
3.题目中给出的13学科的调查数据准确可靠，能够反映不同学科的真实情况。
三、符号描述
:第I个评价指标()；
:重要性的比较值；
:权重向量；
:确定矩阵的最大特征根；
:误差值矩阵；
:评价指标的熵权；
:误判系数；
:学科间指标的差异系数；
:标准化数据矩阵。
四、问题分析
这个题目是对学科的综合评价。文中分别给出了评价教学和科研的指标和数据。为了快速准确地判断学科间的差异，有必要建立评价模型进行定量分析。
问题1，题目要求建立学科综合评价模型。为了解决这个综合评价问题，在确定评价指标时，考虑到每个表的指标都有子项，有的子项重要性明显不同，有的则重要性区分不清，指标之间的相关性不高，所以每个表都采用相应的权重计算方法计算子项的权重，每个学科的每个指标的权重取子项的加权代数和。在综合评价中，利用熵权的理想解给出各个指标的权重，然后计算各个学科的总分，从而对各个学科进行相应的排名。
第二个问题是分析第一个问题给出的模型的适用性和合理性。考虑到该模型的适用性等同于模型的稳定性，采用刀切法对评价指标进行交叉确认和评价，将模型的适用性量化为数值，以便准确评价。模型的合理性需要给出几个附加指标，通过对比分析，确定模型各指标所给权重的合理性。
第三个问题是当本学科的数据全部来自一所科研或教学型大学时，如何建立综合评价模型。由于不同类型大学的评价指标权重不同，通过因子分析得到代表科研和教学的因子。在基于问题模型的基础上，改变不同类型大学模型中的因子得分，得到基于基于问题比较模型的新学科排名。
动词 （verb的缩写）模型建立和求解
5.1评价模型的建立与求解
这个问题给出了八个指标(如图1)。在处理八个不同的指标时，由于每个指标的性质不同，所以采用不同的处理方法。
综合评价指标体系图1
5.1.1学科建设指标a
学科建设有四个二级指标:一级学科、二级学科国家重点学科、博士学位授权点、硕士学位授权点。不同的指标对学科建设的影响程度不同，权重不同，实际意义也不同。这样，就可以利用模糊综合评价方法，对各个学科的学科建设给出一个综合评价方案。
根据问题的实际情况，并通过查询相关资料，我们知道一级国家重点学科的评审难度大于二级国家重点学科，博士学位的授权比硕士学位的授权更重要，所以我们给它们不同的权重。得到各级指标及其权重，如表1所示:
表1各级因素及其权重
主因子，二级因子权重，模糊矩阵，三级因子权重
学科建设A1国家重点学科建设a1=0.6 RA1一级国家重点学科(A11) 0.65
二级国家重点学科(A22) 0.35
A2学位授权a2=0.4 RA2博士学位授权点A21 0.7
硕士学位授权点A22 0.3
因为影响学科建设的有两个二级因素和四个三级因素:国家重点学科建设(A1)和学位授权(A2)。我们用每个三级因子在总数中所占的百分比来构成每个二级因子的模糊评价矩阵Ra1，RA2。
我们以科目a1为例。
RA1={}
RA2
同理，可以得出其他学科的学科建设综合评价指数。D2，D3 .。。D13
学科建设评价指标向量:
A=(D1D2 …..D13)
=
5.1.2获教学奖指标:
教学奖分国家级和省级，很明显国家级奖项比省级奖项重要得多。资料显示，国家每年颁发的国家级和省级教学奖的数量比例约为1:8，因此确定国家级和省级奖励的权重为8:1，因此将各级奖励数量乘以其权重之和作为获奖教学奖的评价指标。结果如表3所示:
表3学科教学奖指标
主题代码a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
教学奖励指数Z2 14 11 1 13 1
科目代码A8 a9 a 10a 11a 12a 13。
教学奖励指数Z2 16 1 4 0 24 18
5.1.3科研经费指标。
国家、省级、其他和横向资金分别为、、和，资金之和为总资金。结果如表4所示。
表4按学科分列的科研经费总额
主题代码a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
资金总额(万元)23916 18943 7201 3088 12657 3379 29506。
科目代码A8 a9 a 10a 11a 12a 13。
资金总额(万元)6240 3254 1307 449 971 672
总资金与国家资金的相关系数为:
寻求:
检查:
查表可知显著性水平为5%，自由度为11的T的临界值为2.145，上式中T的值大于2.145，因此R通过显著性检验。分别计算总资金和其他资金之间的相关系数。因此，总资金和其他项目之间的相关性是显著的。为了简化数据，用科研经费总额来衡量各学科获得的科研经费，即。
5.1.4科研成果奖指标
科研成果奖分为国家级、部级、省级三个等级。显然，国家级奖项比部级和省级奖项重要得多，部级奖项也比省级奖项重要得多。类比教学奖的处理方法，国家级奖项、部级奖项、省级奖项的权重确定为8: 2: 1，因此将各级奖项数乘以其权重之和作为获奖教学奖的评价指标。结果如表5所示:
表5获得科研奖励的课题指标
主题代码a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
科研成果奖指标Z4 57 66 17 23 49 8 76
科目代码A8 a9 a 10a 11a 12a 13。
科研成果奖索引Z4 63 55 18 52 46 35
5.1.5团队建设指标
题目中给出的关于团队建设的数据有很多种。发现除了前两项“教授人数”和“副教授人数”为职称外，其他各项均为个人荣誉，数量相对较少。所以最后八项(b1~b8)加在一起就是一项。因为“教授”比“副教授”高，个人荣誉是锦上添花，也存在一人多项荣誉的可能，不能作为领导指标，比例不能太大。之后类比前文学科建设指标的处理方法给出判断矩阵:
的重量向量:
同样，得出团队建设的指标:
5.1.6科研成果指标
科研成果有SCI/SSCI、EI、ISTP、CSSCI、政府报告、专利、focus，其中SCI、EI、ISTP是世界著名的三大科技文献检索系统，是国际公认的科学统计和科学评价的主要检索工具，其中SCI最为重要，SSCI是SCI的姐妹。CSSCI是我国人文社会科学评价领域的标志性项目，为人文社会科学的发展和研究提供第一手资料。政府报告、专利和专著在学术研究成果的评价中也起着重要的作用。
从数据分析可以看出，对于每个学科来说，由于学科本身的特点，科研成果的侧重点不同，如a1学科中SCI/SSCI、EI、ISTP和专利较多，CSSCI、政府报告和专著较少，而a13学科中SCI/SSCI、EI、ISTP和专利、CSSCI、政府报告和专著较少。为了简化数据，对每一项科研成果都一视同仁，但从数据中可以明显看出SCI/SSCI与专著数量的差异较大，简单的累加必然会降低专著数量对科研成果的贡献率，所以用标准化和加法作为科研成果的指标:
具体结果见表6:
表6学科科研成果指标
主题代码a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
科研成果指数z 64.048 2.465 0.703 0.75438+09 0.945 0.974 2.069
科目代码A8 a9 a 10a 11a 12a 13。
科研成果指数Z6 1.312 2.830 1.725 1.023 1.501.1.220
5.1.7人员培训指标
因为人才培养情况给出了各个学科的博士、硕士、博士后的数量，而且博士后的知识水平明显高于博士，博士高于硕士。因此，人才培养的指标是类比上面给出的判断矩阵确定权重的方法得到的:
判断矩阵:
权重向量由下式获得:
相同的人才培养指标:
5.1.8前期投资
前期的投入体现了各个学科的初期实力、地位和重要性，也在一定程度上影响了学科的后期发展。所以在评价课题的时候，前期的投入也是作为衡量标准的。
经过综合数据处理，得出8个指标。如表7所示
表7各学科指标汇总
获得教学奖、科研基金和学科建设科研奖的团队。
用科研成果建设人才
培训早期阶段的投资
a 1 2 14 23916 57 81 4.048 261 4689
a2 4.534 11 18943 66 72.75 2.465 310 5123
a3 2.639 1 7201 17 38.25 0.703 53 1876
a4 1.917 0 3088 23 17.25 0.719 127 1234
a5 3.914 13 12657 49 30.5 0.945 62 1345
a6 1.617 3 3379 8 27.25 0.974 114 987
a7 8.181 1 29506 76 104 2.069 287 1070
A8 4.388 16 6240 63 32.75 1.312 222 792
a9 4.812 1 3254 55 35.5 2.830 216 450
a 10 2.967 4 1307 18 19 1.725 115 360
a 11 3.038 0 449 52 15 1.023 112 362
a 12 3.677 24 971.46 20.5 1.511 1 162 370
a 13 1.782 18 672 35 18.5 1.220 183 460
5.1.9利用基于熵权方法的理想解，找出学科间的比较，建立数学模型。
得出了各科目在八项指标上的比较。根据题目要求，需要得到的是被试之间的比较。在没有给出每个指标权重的情况下，指标中数据的差异程度就显得尤为重要。因此，采用熵权法构造各指标的权重，然后利用理想解得出各科目的综合比较。以下是具体步骤:
步骤1:归一化原始评估矩阵。由于不同指标的维度不同，将原评价矩阵(包括13学科，8个指标，第一个指标中第一个学科的权重)标准化，根据分析可以看出，所有的指标都是效益指标，也就是说，每个指标中的数据都与学科水平正相关，所以可以用下面的标准化公式将原评价矩阵转化为。
标准化公式:
步骤2:归一化归一化矩阵。使用公式
第三步:计算每个指标的熵。在具有评价对象和评价指标的问题中，第一评价指标的熵被定义为:
因为有对数，所以要求归一化矩阵中的所有项必须大于0。但是，规范化矩阵中有值为0的项，所以假设当。
第四步:计算评价指标的熵权。公式是:
熵权的计算如下:
指标熵越大，熵权越小，重要性越小，满足和。熵权反映的不是实际意义上的指标重要性，而是评价中的相对重要性，反映的是给定一组评价对象后，确定各评价指标值时，各指标的相对强度。
第五步:构建加权归一化评价矩阵。公式是:
第六步:计算正理想解和负理想解的指标加权评价值集合。
第七步:用欧氏距离计算所有学科在所有指标中的总贴近度系数，并进行排序。
欧几里德距离公式:
,
,
邻近系数的计算公式:
,
最后用系数作为综合评价指标对所有学科进行排名，结果见表8:
表8学科综合评价指标
排名123456789 1011213。
科目代码a 1aa 2 a5 a 12aa 13a 9 a6 a4 a 10a 11。
评价指数0.88 0.74 0.67 0.33 0.32 0.20 . 1.040.02 0.0142 0.01.041.01。
5.2评估模型分析
5.2.1模型适用性分析
建立模型的目的是对综合学科的质量进行定量评分。考虑到题目给出了教学科研各项指标的数据，在模型的评价指标范围不同的情况下不进行适用性分析，但当数据和指标有错误或缺失时，模型仍能给出相对正确的分数，且误差在允许范围内，说明模型具有较好的适用性。
适用性的判断通常用指标的误判概率Pw来衡量，这里用刀切法来处理。基本思想是一次剔除评价指标中的一个数据，用容量为m*n-1的评价指标样本建立判别准则(或判别函数)，然后用建立的判别准则对被剔除的样本进行判别。对评价指标中的每个样本重复上述步骤，取误判比例作为误判概率的估计。如果误判的比例在允许的范围内，就可以认可其适用性。比例越小，适用性越好。
找出各学科八项指标的对比后(如表7所示)，进行归一化处理。处理后是一个值形成一的矩阵，用刀切法处理。具体切割算法如下:(取数据形成矩阵)
从容量为G1的训练样本开始，用平均后的数据替换其中一个样本，用容量判别新矩阵，在得到的列向量中得到该样本对应的值。
:把上一步的值和没有替换时的判别式值做差，把差的绝对值放到一个新的有容量的矩阵里。
重复步骤和，直到G1的训练样本中的m*n个样本被依次替换判别，新的矩阵就是误差值矩阵。
考虑到题目中给出的每个科目每个指标只有一个数据，为了防止数据缺失对排名产生太大影响，一般采用同级数据的平均值来处理。所以这里不删除，用该指标其他数据项的平均值代替。这里的判别方法是模型中给出的熵权的理想解。
一个学科的某个指标值的误差会影响整体排名，所以这里把列向量归一化，对应的值可以反映误差对整体排名的影响。
获得的误差矩阵如表9所示:
表9步进误差矩阵
从学科建设教学奖、科研奖、科研成果建设前期投资和人才培养中获得的资金。
a 1 0.0024 0.0281 0.0865 0.005 0.0105 0.0075 0.005 0.0388
a2 0.0326 0.0453 0.1085 0.0342 0.0397 0.0342 0.0343 0.0624
a3 0.0005 0.0209 0.0041 0.0009 0.0006 0.0001 0.0001 0.0059
a4 0 0.0131 0.014 0.001 0.0009 0.0003 0.0002
a5 0.0064 0.0175 0.0198 0.0059 0.0088 0.0086 0.0092 0.0063
a6 0.0003 0.0137 0.0126 0.0008 0.001 0.0006 0.0007 0.0018
a7 0.0104 0.0031 0.1023 0.0103 0.0044 0.0117 0.0114 0.0167
A8 0.0054 0.0324 0.0187 0.0031 0.0071 0.0067 0.0047 0.0122
a9 0.0002 0.0168 0.0138 0.0006 0.0012 0.0016 0.0001 0.0041
a 10 0.0005 0.0113 0.0138 0.0016 0.0014 0.0002 0.0009 0.003
a 11 0.0003 0.0112 0.01 0.0007 0.001 0.0006 0.0008 0.0025
a 12 0.0059 0.0642 0.0425 0.0058 0.0084 0.0062 0.0061 0.0144
a 13 0.0047 0.0378 0.0378 0.0049 0.0065 0.0047 0.0039 0.0106
随机判断样本容量为500的标准矩阵后，计算比较得出误差系数为0.05为正常误差范围。
使用matlab命令find(S & gt；=0.05)得到误差系数以外的相关项，如表10:
表10相关项目超出误差系数
0.0642 0.0865 0.1085 0.1023 0.0624
利用误判率公式，表示样本矩阵中超过误差系数的样本数和总样本容量。
很容易得到它看似误判的费率。在这种情况下，上述标准仍然是好的，这意味着模型是合适的。