有限元方法的发展

随着计算机技术的飞速发展，有限元分析越来越多地应用于仿真，以解决实际工程问题。多年来，越来越多的工程师、应用数学家和物理学家证明，很多物理现象都可以通过求解偏微分方程来解决，偏微分方程可以用来描述流动、电磁场、结构力学等等。有限元方法用于将这些众所周知的数学方程转换成近似的数字图像。

早期的有限元主要集中在某个专业领域，比如应力或疲劳，但一般来说，物理现象并不是单独存在的。比如只要运动就会产生热量，进而影响材料的一些性质，比如导电性、化学反应速率、流体的粘度等等。这种物理系统的耦合就是我们所说的多物理场，分析起来要比单独分析一个物理场复杂得多。显然，我们需要一个多物理场分析工具。

90年代以前，由于计算机资源的缺乏，对多个物理场的模拟只停留在理论阶段，有限元建模也仅限于单一物理场的模拟，最常见的是力学、传热学、流体和电磁场的模拟。看来有限元模拟的命运就是单一物理场的模拟。

这种情况已经开始改变。经过几十年的努力，计算科学的发展为我们提供了更加敏捷、简洁、快速的算法和更加强大的硬件配置，使得用有限元方法模拟多个物理场成为可能。新兴的有限元方法为多物理场分析提供了新的机遇，满足了工程师解决实际物理系统的需要。有限元的未来在于求解多个物理场。

有数不清的话。下面的例子只能说明未来多物理场有限元分析的一些潜在应用。

压电声学换能器可以将电流转换成声压场，反之亦然。这种器件一般用于空气或液体中的声源器件，如相控阵麦克风、超声波生物成像仪、声纳传感器、声学生物治疗仪等。，也可用于喷墨打印机、压电电机等一些机械设备。

压电放大器涉及三个不同的物理场:结构场、电场和流体中的声场。只有具备多物理场分析能力的软件才能解决这个模型。

压电材料是PZT5-H晶体，广泛应用于压电传感器。在空气和晶体的界面处，声场的边界条件设置为压力等于结构场的法向加速度，这样压力就可以传递到空气中。此外，由于气压的影响，晶畴会发生形变。在施加幅度为200V、振荡频率为300 KHz的电流后，模拟晶体产生的声波传播。这个模型的描述及其完美的结果表明，在任何复杂的模型下，我们都可以用一系列的数学模型来表示，然后求解。

多物理场建模的另一个好处是，在学校里，学生直观地获得了一些以前看不到的现象，简单易懂的表达方式也赢得了学生的青睐。这正是Krishan Kumar Bhatia博士在纽约Glassboro的Rowan大学向高年级毕业生介绍建模和分析工具时的感受。他的学生的主题是如何冷却摩托车的发动机箱。巴蒂亚博士教他们如何用“设计-制造-测试”的概念来判断、发现和解决问题。没有计算机模拟的应用，在课堂上推广这种方法是不可想象的，因为成本太大。

COMSOL Multiphysics具有出色的用户界面，使学生能够方便地设置传热问题，并快速获得所需的结果。巴蒂亚博士说:“我的目标是让每个学生都理解偏微分方程，当他们再次遇到这样的问题时，他们就不会担心了。”“这不需要知道太多的分析工具。总的来说，学生们都说，‘这个建模工具太棒了’”。

许多优秀的高科技工程公司已经看到多物理场建模可以帮助他们保持竞争力。多物理场建模工具允许工程师每次进行更多的虚拟分析，而不是物理测试。这样，他们可以快速、经济地优化产品。在印度尼西亚的Medrad Innovations Group，John Kalafut博士领导的研究小组使用多物理场分析工具研究了细长注射器中血细胞的注射过程，这是一种高剪切率的非牛顿流体。

通过这项研究，Medrad的工程师们制造了一种称为Vanguard Dx血管造影导管的新型设备。与传统尖喷嘴导管相比，新型扩散喷嘴导管使造影剂分布更加均匀。造影剂是一种特殊材料，在拍摄X射线时可以更清楚地显示病变器官。

另一个问题是，传统导管可能导致造影剂在使用过程中产生很大的速度，这可能会损伤血管。先锋血管造影导管减少了造影剂对血管的影响，最大限度地降低了血管损伤的可能性。

关键问题是如何设计导管的喷嘴形状，既能优化流体速度又能减少结构变形。Kalafut的研究团队采用多物理场建模方法，将层流产生的力耦合到应力应变分析中，然后对各种喷嘴的形状和布局进行流固耦合分析。“我们的一名实习生为不同的流体区域建立了不同的喷嘴布局，并对它们进行了分析，”卡拉福特博士说。“我们利用这些分析结果来评估这些新想法的可行性，从而减少了制作实体模型的次数。”

搅拌摩擦焊(FSW)自1991获得专利以来，在铝合金焊接中得到了广泛的应用。航空业首先采用了这些技术，并正在研究如何使用它们来降低制造成本。在摩擦搅拌焊接过程中，具有肩部和搅拌头的圆柱形刀具旋转并插入两块金属的接合处。旋转台肩和搅拌头用于产生热量，但这些热量不足以熔化金属。相反，软化塑料金属会形成固体屏障，阻止氧气氧化金属并形成气泡。破碎、搅拌和挤压的作用可以使焊缝处的结构比原来的金属结构更好，强度甚至可以提高一倍。这种焊接设备甚至可以用于焊接不同类型的铝合金。

空客公司资助了很多关于搅拌摩擦焊的研究。在制造商大规模投资和重组生产线之前，克兰菲尔德大学的保罗·科尔格罗夫博士使用多物理场分析工具来帮助他们理解加工过程。

第一项研究成果是搅拌摩擦焊的数学模型，它可以让空客的工程师“看穿”焊缝，以检查温度分布和微观结构的变化。Colegrove博士和他的研究团队还编写了一个具有图形界面的模拟工具，以便空客工程师可以直接提取材料的热特性和焊缝的极限强度。

在搅拌摩擦焊的模拟过程中，耦合了三维传热分析和二维轴对称涡流模拟。热传递分析计算将热通量密度应用于工具表面后结构的热分布。可以提取刀具位移、热边界条件和焊接材料的热性质。接下来，将工具表面的三维热分布映射到二维模型。该耦合模型可以计算加工过程中热量和流体之间的相互作用。

耦合基板的电磁、电阻和热传递行为需要真正的多物理场分析工具。一个典型的应用是，在半导体加工和退火的过程中，有一个使用感应加热的热壁炉，用来生长半导体晶片，这是电子工业中的一项关键技术。

例如，金刚砂可以在2000℃的高温下代替石墨接收器，接收器由功率接近10 kW的射频装置加热。炉腔的设计对于在如此高的温度下保持炉内温度的均匀性是非常重要的。通过很多物理场分析工具的分析，发现热量主要是通过辐射传递的。在该模型中，我们不仅可以看到晶片表面的温度分布，还可以看到炉子石英管上的温度分布。

在电路设计中，材料的耐久性和使用寿命是影响材料选择的重要方面。电器小型化的趋势使得可以安装在电路板上的电子元件发展迅速。众所周知，安装在电路板上的电阻等元器件会产生大量的热量，这些热量可能会导致元器件的焊脚处出现裂纹，最终导致整个电路板报废。

多物理场分析工具，可以分析整个电路板上的热传递，结构的应力变化，以及温度上升引起的变形。这可以用来提高电路板设计和材料选择的合理性。

计算机能力的提高使得有限元分析从单场分析到多场分析成为现实。未来几年，多物理场分析工具将给学术界和工程界带来震撼。“设计-验证”这种单调的设计方式将逐渐被淘汰，虚拟建模技术将让你的思想更进一步，通过仿真点燃创新的火花。

自2000年以来，国内外对非线性结构问题的数值解法进行了大量的研究。修正的牛顿-拉普森迭代法的出现为保证计算精度提供了保证。然而，用这种方法求解结构的极限强度仍然很难找到极限点。赖特& ampGaylord发展了虚弹簧法以保证结构刚度矩阵在极限强度后区域的正定性，并成功地将其应用于框架结构的分析。Bergan等人提出了当前刚度参数法，抑制临界区的平衡迭代，然后越过极限点。Batoz提出了位移控制法，通过应用已知的位移变化过程来反演结构的内力，从而通过极限点得到结构的后极限强度响应。Riks首先提出了弧长控制法，由Crisfield、Ramm、Powell和Simons在1981中改进，并结合修正的Newton-Lapson方法，成功解决了极限后平衡路径中的“突跳”问题。高素荷等人研究了网格划分密度与有限元求解精度的关系。通过将不同网格密度、不同单元类型的有限元力学模型计算结果与精确解进行分析比较，探索单元网格划分与有限元解精度之间的内在联系，有利于在保证有限元解满足工程实际精度要求的前提下，确定合理的网格密度，提高有限元分析效率。证明了对于几何拐角尖锐、应力应变变化较大的区域，有限元分析时应选择高阶子单元，并适当增加单元网格密度。这样既能保证单元的形状，同时又能提高解的精度和准确度，加快收敛速度。自动网格化时，优先选择高阶元素。在网格划分和初步求解时，应先简单后复杂，先粗后细。由于工程结构一般具有重复对称或轴对称和镜像对称的特点，为了提高求解效率，应充分利用重复对称的特点，采用子结构或对称模型来提高求解的效率和精度。