牛顿发明了什么？
笛卡尔的解析几何将描述运动的函数关系对应到几何曲线上。牛顿在老师巴罗的指导下，在学习笛卡尔解析几何的基础上，找到了新的出路。任意时刻的速度都可以看作是一个小时间范围内的平均速度，是一个小距离与一个时间间隔的比值。当这个小时间间隔缩小到无穷大时，就是这个点的精确值。这就是差异化的概念。
求导相当于求时间和距离的关系在某一点的正切斜率。变速运动物体在一定时间范围内所行进的距离，可以看作是在一个很小的时间间隔内所行进距离的总和，这就是积分的概念。积分相当于求时间和速度关系曲线下的面积。牛顿从这些基本概念中建立了微积分。
微积分的建立是牛顿最杰出的数学成就。牛顿创立这个与物理概念直接相关的数学理论，就是为了解决运动的问题。牛顿称之为“流量计数”。它所处理的一些具体问题，如切线问题、求积问题、瞬时速度问题、函数的最大值和最小值问题，在牛顿之前已经有人研究过了。但是牛顿超越了他的前辈。他从更高的角度综合了过去零散的结论，将古希腊以来解决无穷小问题的各种技巧统一为两种普通算法——微分和积分，并建立了这两种运算的互逆关系，从而完成了微积分发明中最关键的一步，为现代科学的发展提供了最有效的工具，开辟了数学的新时代。
牛顿没有及时发表微积分的研究成果。他研究微积分的时间可能比莱布尼茨早，但莱布尼茨采用的表述更合理，微积分方面的著作发表的时间也比牛顿早。
牛顿和莱布尼茨之间，在争论谁是这门学科的创始人时，其实引起了轩然大波。这种争吵在各自的学生、支持者和数学家中持续了很长时间，造成了欧洲大陆数学家和英国数学家的长期对立。英国数学有一段时间闭关锁国，受限于民族偏见，过于拘泥于牛顿的“流量计数”，所以数学的发展落后了整整一百年。
应该说，一门科学的建立，绝不是一个人的成就。必须经过很多人的努力和大量成果的积累，由一个人或几个人来完成。微积分也是如此，是牛顿和莱布尼茨在前人的基础上独立建立起来的。
1707年，牛顿的代数讲义整理出版，命名为《普通算术》。他主要讨论了代数的基础及其在解决各种问题中的应用。该书陈述了代数的基本概念和运算，用大量的例子说明了如何把各种问题化为代数方程，深入探讨了方程的根和性质，从而在方程理论方面取得了丰硕的成果，如:他得出了方程的根与其判别式之间的关系，指出利用方程的系数可以确定方程根的幂和，即牛顿幂和公式。
牛顿对解析几何和综合几何都有贡献。在1736出版的《解析几何》中，他引入了曲率中心，给出了闭线圆(或曲线圆)的概念，提出了曲率公式和曲线的曲率计算方法。并将自己的许多研究成果总结成专著《三次曲线的计数》，发表于1704。此外，他的数学工作涉及数值分析、概率论、初等数论等多个领域。
1665年，年仅22岁的牛顿发现了二项式定理，这是微积分全面发展必不可少的一步。二项式定理认为能量是通过直接计算发现的。
简单的结果被推广到下面的形式。
促销形式
二项式级数展开是研究级数理论、函数理论、数学分析和方程理论的有力工具。今天我们会发现这种方法只适用于n为正整数的情况，当n为1，2，3的正整数时，.....，该系列正好在n+1处结束。如果n不是正整数，数列不会结束，此方法不适用。但要知道，莱布尼茨是在1694年才引入函数这个词的。在微积分的早期阶段，用超越函数的层次来对待超越函数是最有效的方法。
创建微积分
牛顿在数学方面最杰出的成就是创立了微积分。他的突出成就是把古希腊以来各种解决无穷小问题的特殊技巧统一为两种通用算法——微分和积分，并建立了这两种运算之间的互逆关系。比如面积计算，可以看作是求切线的逆过程。
当时莱布尼茨刚刚提出微积分的研究报告，引发了微积分发明专利权的争论，直到莱布尼茨去世。而后世已经认定，差积是他们同时发明的。
在微积分的方法上，牛顿极其重要的贡献在于，他不仅清楚地看到了，而且大胆地使用了代数所提供的方法论，这是比几何优越得多的。他用代数方法代替了卡瓦列里、格雷戈里、惠更斯和巴罗的几何方法，完成了积分的代数化。此后，数学逐渐从感觉的学科转向思维的学科。
在微积分早期，因为没有建立坚实的理论基础，所以被一些喜欢思考的人研究。这导致了著名的第二次数学危机。这个问题直到19世纪极限理论建立才得以解决。
方程理论和变分法
牛顿还对代数做出了经典贡献，他的广义算术极大地促进了方程理论。他发现实多项式的虚根必须成对出现，并发现了多项式根的上界规律。他用多项式的系数表示了多项式的根的和公式，并给出了限制实多项式虚根个数的笛卡儿符号法则的推广。
牛顿还设计了求数值方程和超越方程的实根的近似值的对数的方法。这种方法的修改现在被称为牛顿法。
牛顿在力学领域也有重大发现，力学是解释物体运动的科学。第一运动定律是伽利略发现的。这个定律说明，如果一个物体处于静止或匀速直线运动，只要没有外力，它就会保持静止或继续匀速直线运动。这个定律也被称为惯性定律，它描述了力的一个性质:力可以使一个物体从静止运动到运动，从运动到静止，也可以使一个物体从一种运动形式变为另一种运动形式。这就是所谓的牛顿第一定律。力学中最重要的问题是物体在相似的情况下如何运动。牛顿第二定律解决了这个问题；这个定律被认为是经典物理中最重要的基本定律。牛顿第二定律定量描述了力可以改变物体的运动。表示速度的时间变化率(即加速度A与力F成正比，但与物体质量成反比，即a=F/m或F = Ma力越大，加速度越大；质量越大，加速度越小。力和加速度都有大小和方向。加速度是由力引起的，方向与力相同；如果有几个力作用在一个物体上，合力就会产生加速度。第二定律是最重要的，所有的幂的基本方程都可以通过微积分从中推导出来。
此外，牛顿根据这两个定律制定了第三定律。牛顿第三定律指出，两个物体之间的相互作用总是大小相等，方向相反。对于直接接触的两个物体来说，这个定律更容易理解。书对子桌子的向下压力等于桌子对书的向上支撑，即作用力等于反作用力。重力也是如此。飞行中的飞机拉起地球的力在数值上等于地球拉下飞机的力。牛顿运动定律广泛应用于科学和动力学中。
牛顿运动定律
牛顿运动定律是艾萨克·牛顿提出的物理学三大运动定律的总称，被视为经典物理学的基础。
牛顿第一定律(惯性定律:所有物体在没有任何外力的情况下总是保持匀速直线运动或静止状态，直到有外力迫使它们改变这种状态。——它阐明了力与运动的关系，提出了惯性的概念)，“牛顿第二定律(物体的加速度与作用在物体上的合力F成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与合力的方向相同。公式:F=kma(当m的单位为kg，a的单位为m/s2时，k=1)牛顿第三定律(同一直线上两个物体之间的作用力和反作用力大小相等，方向相反)。)"
牛顿法
牛顿法，又称牛顿-拉夫逊法，是牛顿在17世纪提出的在实数域和复数域近似求解方程组的方法。大部分方程都没有求根的公式，所以很难甚至不可能找到精确的根，所以求方程的近似根就显得尤为重要。方法利用函数f(x)的泰勒级数的前几项求方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一。它最大的优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，还可以用来求方程的重根和复根。此外，这种方法在计算机编程中应用广泛。设r为f(x) = 0的根，选取x0为r的初始近似值，使曲线y = f(x)的切线L通过点(x0，f(x0))。L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求L与X轴交点的横坐标。交点(x1，f(x1))作为曲线y = f(x)的切线，切线与x轴的交点横坐标为x2 = x 1-f(x 1)/f '(x 1)，称为x2。重复上述过程得到R的近似序列，其中x(n+1)= x(n)-f(x(n))/f’(x(n))，称为R的n+1近似，上述公式称为牛顿迭代公式。求解非线性方程f(x)=0的牛顿法是一种将非线性方程线性化的近似方法。将f(x)展开为泰勒级数f(x)= f(x0)+(x-x0)f '(x0)+(x-x0)2 * f ' '(x0)/2！+…取其线性部分为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则F (x0)+F' (x0) (x-x0) = F (x) = 0设f'(x0)≠0，解为X1 = x0。
光学贡献
牛顿望远镜
在牛顿之前，墨子、培根、达芬奇等人都是研究光学现象的。反射定律是人们早就知道的光学定律之一。现代科学兴起时，伽利略通过望远镜发现了“新宇宙”，震惊世界。荷兰数学家斯冷笑首先发现了光的折射定律。笛卡尔提出了光的粒子...
牛顿和他同时代的人，如胡克和惠更斯，也像伽利略和笛卡尔一样，以极大的兴趣和热情研究光学。1666年，牛顿在家休假时，得到了一个棱镜，他用这个棱镜做了著名的色散实验。一束太阳光通过棱镜后，被分解成几种颜色的光谱带。牛顿用狭缝挡板挡住了其他颜色的光，只让一种颜色的光通过第二个棱镜，结果只有同色的光。就这样，他发现了白光是由不同颜色的光组成的，这是第一个重大贡献。
为了验证这一发现，牛顿试图将几种不同的单色光组合成白光，并计算出不同颜色光的折射率，准确地解释了色散现象。物质的颜色之谜被解开了。原来，物质的颜色是不同颜色的光在物体上的反射率和折射率不同造成的。公元1672年，牛顿在《皇家学会哲学杂志》上发表了他的研究成果，这是他发表的第一篇论文。
许多人研究光学是为了改进折射望远镜。牛顿发现了白光的构成，认为折射式望远镜镜片的色散现象无法消除(后来有人用不同折射率的玻璃制成的镜片消除了色散现象)，于是设计制造了反射式望远镜。
牛顿不仅擅长数学计算，而且能够自己制作各种实验设备，做精细的实验。为了制作望远镜，他设计了研磨抛光机，试验了各种研磨材料。1668年，他做出了第一台反射式望远镜样机，这是第二大贡献。1671年，牛顿将改进后的反射式望远镜赠送给皇家学会，这使他名声大振，当选为皇家学会会员。反射望远镜的发明奠定了现代大型光学天文望远镜的基础。
同时，牛顿还进行了大量的观测实验和数学计算，如研究惠更斯发现的冰川石的异常折射现象、胡克发现的肥皂泡的颜色现象、牛顿环的光学现象等等。
牛顿还提出了光的“粒子说”，认为光是由粒子形成的，走最快的直线运动路径。他的“粒子论”和惠更斯的“波动论”后来形成了关于光的两个基本理论。此外，他还制作了牛顿色轮和其他光学仪器。
建造一座机械楼
牛顿是经典力学理论的大师。他系统地总结了伽利略、开普勒和惠更斯的工作，得到了著名的万有引力定律和牛顿运动三定律。
在牛顿之前，天文学是最突出的学科。但是为什么行星一定要按照一定的规律绕太阳运行呢？天文学家无法完全解释这个问题。万有引力的发现表明，天上的星星和地上的物体的运动受同一规律支配——力学规律。
早在牛顿发现万有引力定律之前，很多科学家就已经认真考虑过这个问题。例如，开普勒意识到一定有一种力在起作用，使行星沿着椭圆轨道运行。他认为这种力类似于磁力，就像磁铁吸引铁一样。1659年，惠更斯通过研究钟摆的运动发现，需要一个向心力来保持物体在圆形轨道上运动。胡克等人认为是引力，并试图推导出引力与距离的关系。
1664年，胡克发现当彗星接近太阳时，由于太阳的引力，它们的轨道是弯曲的。1673年，惠更斯推导向心力定律；1679年，胡克和哈雷从向心力定律和开普勒第三定律推导出维持行星运动的引力与距离的平方成反比。
牛顿自己回忆说，1666左右，他在家乡生活的时候就已经考虑过引力的问题。最著名的一句话是，牛顿经常在假期里在花园里坐一会儿。一次，就像以前发生过很多次一样，一个苹果从树上掉了下来...
一个苹果的意外落地，是人类思想史上的一个转折点，打开了坐在花园里的人的思维，引发他沉思:所有物体几乎都被地心吸引的原因是什么？牛顿沉思着。最后，他发现了对人类具有划时代意义的万有引力。
牛顿的高明之处在于，他解决了胡克等人无法解决的数学论证问题。1679年，胡克写信给牛顿，问他能否根据向心力定律和引力与距离的平方成反比定律证明行星在椭圆轨道上运动。牛顿没有回答这个问题。1685年，哈雷拜访牛顿的时候，牛顿已经发现了万有引力定律:两个物体之间存在引力，与距离的平方成反比，与两个物体质量的乘积成正比。
当时有地球半径、日地距离等精确数据可供计算。牛顿向哈雷证明了地球引力是使月球绕地球运动的向心力，也证明了行星运动在太阳引力作用下符合开普勒运动三定律。
在哈雷的催促下，1686年底，牛顿写出了划时代的巨著《自然哲学的数学原理》。皇家学会资金短缺，无法出版这本书。后来，科学史上最伟大的著作之一在哈雷的支持下于1687年出版。
在这本书里，牛顿从力学的基本概念(质量、动量、惯性、力)和基本定律(运动三定律)出发，不仅从数学上论证了万有引力定律，而且将经典力学确立为一个完整而严密的体系，将天体力学与地面物体力学统一起来，实现了物理学史上的第一次大综合。